MATERI MATEMATIKA

1.    Pengertian Bilangan

Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks. Bilangan adalah suatu ide yang bersifat abstrak yang akan memberikan keterangan mengenai banyaknya suatu kumpulan benda. Lambang bilangan biasa dinotasikan dalam bentuk tulisan sebagai angka. Prosedur-prosedur tertentu yang mengambil bilangan sebagai masukan dan menghasil bilangan lainnya sebagai keluran, disebut sebagai operasi numeris.

Operasi uner mengambil satu masukan bilangan dan menghasilkan satu keluaran bilangan. Operasi yang lebih umumnya ditemukan adalah operasi biner, yang mengambil dua bilangan sebagai masukan dan menghasilkan satu bilangan sebagai keluaran. Contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan perakaran. Bidang matematika yang mengkaji operasi numeris disebut sebagai aritmetika.

2.    Macam-macam Bilangan

a.             Bilangan Bulat

1.        Bilangan bulat terdiri dari bilangan bulat negatif, nol, dan bilangan bulat positif.

2.        Sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat:

a.         Sifat tertutup

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

b.        Sifat komutatif

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

c.         Sifat asosiatif

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

d.        Mempunyai unsur identitas

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a. Bilangan nol (0) merupakan unsur identitas pada penjumlahan.

e.         Mempunyai invers

Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku a + (–a) = (–a) + a = 0. Invers dari a adalah –a, sedangkan invers dari –a adalah a.

3.        Jika a dan b bilangan bulat maka berlaku a – b = a + (–b).

4.        Operasi pengurangan pada bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

5.        Jika p dan q bilangan bulat maka

a.         p x q = pq;

b.        (–p) x q = –(p x q) = –pq;

c.         p x (–q) = –(p x  q) = –pq;

d.         (–p) x (–q) = p x  q = pq.

6.        Untuk setiap p, q, dan r bilangan bulat berlaku sifat

a.         tertutup terhadap operasi perkalian;

b.        komutatif: p x q = q x p;

c.         asosiatif: (p x q) x r = p x (q x  r);

d.        distributif perkalian terhadap penjumlahan: p x (q + r) = (p x q) + (p x  r);

e.         distributif perkalian terhadap pengurangan: p x (q – r) = (p x q) – (p x  r).

7.        Unsur identitas pada perkalian adalah 1, sehingga untuk setiap bilangan bulat p berlaku p x 1 = 1 x p = p.

8.        Pembagian merupakan operasi kebalikan dari perkalian.

9.        Pada operasi pembagian bilangan bulat tidak bersifat tertutup.

10.    Apabila dalam suatu operasi hitung campuran bilangan bulat tidak terdapat tanda kurung, pengerjaannya berdasarkan sifat-sifat operasi hitung berikut.

a.    Operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

b.    Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) sama kuat, artinya operasi yang terletak di sebelah kiri dikerjakan terlebih dahulu.

c.    Operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) lebih kuat daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–), artinya operasi perkalian ( x ) dan pembagian (:) dikerjakan terlebih dahulu daripada operasi penjumlahan (+) dan pengurangan (–).

Jadi bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri dari seluruh bilangan baik negatif, nol dan positif.

Contoh: -3,-2,-1,0,1,2,3,….

b.             Bilangan Cacah

Bilangan cacah adalah himpunan bilangan asli dan nol termasuk di dalamnya.

Contoh : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

c.              Bilangan Prima

Dalam matematika, bilangan prima adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. 2 dan 3 adalah bilangan prima. 4 bukan bilangan prima karena 4 bisa dibagi 2. Sepuluh bilangan prima yang pertama adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 dan 29.

Jika suatu bilangan yang lebih besar dari satu bukan bilangan prima, maka bilangan itu disebut bilangan komposit.

Cara paling sederhana untuk menentukan bilangan prima yang lebih kecil dari bilangan tertentu adalah dengan menggunakan saringan Eratosthenes Secara matematis, tidak ada "bilangan prima yang terbesar", karena jumlah bilangan prima adalah tak terhingga.[1] Bilangan prima terbesar yang diketahui per 2013 adalah 257,885,161 − 1.[2] Bilangan ini mempunyai 17,425,170 digit dan merupakan bilangan prima Mersenne yang ke-48. M57885161 (demikian notasi penulisan bilangan prima Mersenne ke-48) ditemukan oleh Curtis Cooper pada 25 Januari 2013 yang merupakan profesor-profesor dari University of Central Missouri bekerja sama dengan puluhan ribu anggota lainnya dari proyek GIMPS.

Jadi bilangan prima adalah bilangan-bilangan  sail/asli yang hanya bisa dibagi dirinya sendiri dan satu, atau bilangan yang memiliki 2 faktor, dan angka satu bukan bilangan prima.

Contoh: 2,3,5,7,11,13,17,….

d.             Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irrasional, seperti π dan √2, dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.

Note : Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik “.”.

Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (real).

e.              Bilangan Desimal

Bilangan Desimal adalah di mana sistem ini menggunakan 10 macam simbol yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Sistem ini menggunakan basis 10. Bentuk nilai dari Sistem Bilangan Desimal ini dapat berupa integer desimal dan pecahan.

Integer Desimal adalah nilai desimal yang bulat, misalnya 8598 dapat diartikan :

Setiap simbol pada Sistem Bilangan Desimal mempunyai absolute value dan psition value. Absolute Value adalah nilai mutlak dari masing-masing digit bilangan. Sedangkan Positif Value adalah nilai bobot dari masing-masing digit bilangan tergantung letak posisinya yaitu bernilai basis dipangkatkan dengan urutan posisinya.

Dengan begitu maka bilangan desimal dari 8598 dapat diartikan sebagai berikut:

Pecahan Desimal adalah nilai desimal yang mengandung nilai pecahan di belakang koma, misalnya nilai 183,75. Nilai tersebut dapat diartikan sebagai berikut :

3.    Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil

Bilangan genap adalah suatu bilangan yang habis dibagi dua. Dengan demikian 0 termasuk bilangan genap, karena 0 habis dibagi dua. Bilangan genap dapat dituliskan dengan bentuk rumus 2k, dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan genap artinya penjumlahan dari (2k)+(2k) hasilnya adalah 4k=2(2k). Misalnya 2k=n, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2n, dimana ini merupakan rumus untuk bilangan genap. Jadi, dapat diambil kesimpulan bahwa jumlah dua bilangan genap berapapun akan menghasilkan bilangan genap.

·      Rumus bilangan ganjil

Rumus untuk bilangan ganjil tentunya negasi atau kebalikan dari rumus untuk bilangan genap. Pada bilangan genap dikatakan bahwa bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, maka untuk bilangan ganjil adalah yang bukan kelipatan 2.

Setiap yang kelipatan 2 dapat dituliskan sebagai 2n. sehingga untuk yang bukan kelipatan 2 bisa dituliskan sebagai 2n + 1 atau 2n – 1. Artinya yaitu bilangan kelipatan 2 yang ditambah satu sama dengan bilangan yang bukan kelipatan 2. Sama halnya untuk dikurangi 1.

Misalnya bilangan 8 adalah bilangan genap dan merupakan bilangan kelipatan 2. Maka, 8 + 1 = 9 merupakan bilangan ganjil.

Begitu juga untuk 8 – 1 = 7 yang merupakan bilangan ganjil.

Sehingga rumus untuk bilangan ganjil adalah 2n + 1 atau 2n – 1. Untuk setiap n bilangan bulat.

Bilangan ganjil adalah bilangan yang jika dibagi 2 memiliki sisa 1. Contohnya jika kita punya bilangan 22 di bagi 2 akan menghasilkan 11 tanpa sisa. Sedangkan 23 jika dibagi 2 akan menghasilkan 11 sisa 1.

Bilangan ganjil dituliskan dengan bentuk rumus 2k-1 atau dapat ditulis dengan 2k+1  dengan k sembarang bilangan bulat. Jumlah dua bilangan ganjil atau penjumlahan (2k-1)+(2k+1) yang hasilnya adalah 4k-2=2(2k-1). Misalkan 2k-1=m, maka bentuk terakhir dapat ditulis sebagai 2m. Dimana ini merupakan rumus dari bilangan genap. Jadi, dapat disimpulkan bahwa jumlah dua bilangan ganjil berapapun akan menghasilkan dua bilangan genap.

Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi dua. Dan bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi 2.

Karena bilangan genap adalah bilangan yang habis dibagi dua, maka bilangan genap adalah bilangan 2 dan kelipatannya. yaitu 2, 4, 6, 8, 10, … dan kelipatan ke bawah yaitu 2, 0, -2, -4, -6, …

Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan genap, karena bilangan genap adalah bilangan kelipatan 2, maka bilangan genap dapat dituliskan dengan rumus 2n, dengan n adalah sebarang bilangan bulat.

Mengapa dituliskan dengan rumus 2n?

Kita tahu bahwa bilangan genap habis dibagi 2. Dan 2n juga habis dibagi 2. Sehingga kita bisa menuliskan dengan rumus 2n untuk setiap bilangan genap.

Mengapa tidak dituliskan dengan rumus 4n?

 Memang 4n habis dibagi 2. Dan setiap bilangan berbentuk 4n merupakan bilangan genap. Tetapi tidak semua bilangan genap berbentuk 4n. ini dikarenakan 4n adalah bilangan kelipatan 4.

Sehingga untuk bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4, maka tidak bisa dituliskan ke dalam bentuk 4n. oleh karena itu, rumus 2n untuk bilangan genap digunakan karena 2n adalah bilangan kelipatan 2 dan bilangan genap juga merupakan kelipatan 2.

4.    Bilangan Pecahan

Bilangan pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dan b ≠ 0. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai p/q, dengan p dan q adalah bilangan bulat dan q ≠0. Bilangan p disebut pembilang dan bilangan q disebut penyebut. Pecahan dapat dikatakan senilai apabila pecahan tersebut mempuyai nilai atau bentuk paling sederhana sama

Contoh:
5/7; 5 dikatakan sebagai pembilang dan 7 dikatakan sebagai penyebut
10/45; 10 dikatakan sebagai pembilang dan 45 dikatakan sebagai penyebut

Berikut ini merupakan jenis-jenis pecahan:

1)        Pecahan Biasa

Yaitu pecahan dengan pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat

Contoh:

1/4 , 2/5 , 9/10

2)        Pecahan Murni

Yaitu pecahan yang pembilang dan penyebutnya merupakan bilangan bulat dan berlaku pembilang kurang atau lebih kecil dari penyebut. Pecahan murnai dapat dikatakan sebagai pecahan biasa tetapi pecahan biasa belum tentu dapat dikatakan sebagai pecahan murni

Contoh:

1/6 , 3/5, 7/15

3)        Pecahan campuran

Pecahan yang terdiri atas bagian bilangan bulat dan bagian pecahan murni

Contoh:

3 ½, 4 ½, 5 ¾,

4)        Pecahan desimal

Yaitu pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma,

Contoh:

0,4; 4,6; 9,2

5)        Persen atau perseratus

Pecahan dengan penyebut 100 dan dilambangkan dengan %

Contoh:

4% artinya 4/100

35% artinya 35/100

6)        Permil atau perseribu

Yaitu pecahan dengan penyebut 1.000 dan dilambangkan dengan%0

Contoh:

8%0 artinya 8/1000

125%0 artinya 125/1000

1.      PENGERTIAN LOGIKA MATEMATIKA

Logika Matematika atau Logika Simbol  ialah logika  yang menggunakan bahasa Matematika, yaitu dengan menggunakan lambang-lambang atau simbol- simbol.

Keuntungan atau kekuatan bahasa simbol adalah: ringkas, univalent/bermakna tunggal, dan universal/dapat dipakai dimana-mana.

2.      PERNYATAN

Kalimat adalah rangkaian kata yang disusun menurut aturan bahasa yang mengandung arti. Pernyataan adalah kalimat yang mempunyai nilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan salah (pernyataan disebut juga preposisi, kalimat deklaratif). Benar diartikan ada kesesuaian antara apa yang dinyatakan dengan keadaan yang sebenarnya. Perhatikan beberapa contoh berikut!

1. Al-Quran adalah sumber hukum pertama umat Islam
2. 4 + 3 = 8
3. Rapikan tempat tidurmu!

Contoh nomor 1 bernilai benar, sedangkan contoh nomor 2 bernilai salah, dan keduanya adalah pernyataan. Kalimat 3 di atas tidak mempunyai nilai benar atau salah, sehingga bukan pernyataan.

Kalimat Terbuka adalah kalimat yang belum tentu bernilai benar atau salah. Kalimat terbuka biasanya ditandai dengan adanya variabel (peubah). Jika variabelnya diganti dengan konstanta dalam semesta yang sesuai maka kalimat itu akan menjadi sebuah pernyataan.

Variabel (Peubah) adalah lambang yang menunjukkan anggota yang belum tentu dalam semesta pembicaraan, sedangkan konstanta adalah lambang yang menunjukkan anggota tertentu dalam semesta pembicaraan. Pengganti variabel yang menyebabkan kalimat terbuka menjadi pernyataan yang bernilai benar, disebut selesaian atau penyelesaian. Contoh kalimat terbuka

1. yang duduk di bawah pohon itu cantik rupanya

2. x + 2 = 8

Pernyataan Majemuk

Logika merupakan sistem matematika artinya memuat unsur-unsur yaitu pernyataan-oernyataan dan operasi-operasi yang didefinisikan. Operasi-operasi yang akan kita temui berupa kata sambung logika (conective logic):

: Merupakan lambang operasi untuk negasi
: Merupakan lambang operasi untuk konjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk disjungsi
: Merupakan lambang operasi untuk implikasi
: Merupakan lambang operasi untuk biimplikasi

3.      KATA HUBUNG KALIMAT

A.    Ingkaran atau Negasi

Ingkaran/Negasi dari suatu pernyataan adalah pernyataan lain yang diperoleh dengan menambahkan kata ”tidak” atau menyisipkan kata ”bukan” pada pernyataan semula. Ingkaran dari suatu pernyataan p disajikan dengan lambang atau –p atau ~p, dan dibaca: ”tidak p”. Bila peryataan p bernilai benar, maka ingkarannya bernilai salah dan sebaliknya. Dengan tabel kebenaran

B.     Konjungsi ( )

Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua pernyataan komponennya bernilai benar. Dan jika salah satu atau kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. Dengan tabel kebenaran

C.    Disjungsi/ Alternasi ( )

Disjungsi dari dua buah pernyataan p dan q bernilai benar asal salah satu atau kedua pernyataan komponennya benar. Dan jika kedua pernyataan komponennya salah, maka konjungsi itu salah. (Disjungsi seperti ini disebut disjungsi inklusif). Dengan tabel kebenaran

D.    Implikasi ( )

Bernilai benar jika konsekuennya bernilai benar atau anteseden dan konsekuen kedua-duanya salah, dan bernilai salah jika antesedennya bernilai benar, sedangkan konsekuennya salah. Dengan tabel kebenaran

E.     Biimplikasi atau Bikondisional ( )

Biimplikasi bernilai benar apabila anteseden dan konsekuen kedua-duanya bernilai benar atau kedua-duanya bernilai salah. Jika tidak demikian maka biimplikasi bernilai salah. Dengan tabel kebenaran

F.     Konvers, Invers, dan Kontraposisi

Dari pernyataan berbentuk implikasi dapat kita turunkan pernyataan-pernyataan baru yang disebut invers, konvers, dan kontraposisi.

G.    Bikondisional (Biimplikasi Atau Pernyataan Bersyarat Ganda)

Pernyataan bikondisional bernilai benar hanya jika komponen-komponennya bernilai sama. Contoh:          Jika   p          : 2 bilangan genap (B)

          q          : 3 bilangan ganjil (B)

maka p ⇔ q  : 2 bilangan genap jhj 3 bilangan ganjil (B)

4.      TAUTOLOGI, EKIVALEN DAN KONTRADIKSI

A. Tautologi

Perhatikan bahwa beberapa pernyataan  selalu bernilai benar. Contoh pernyataan: “Junus masih bujang atau Junus bukan bujang” akan selalu bernilai benar tidak bergantung pada apakah junus benar-benar masih bujang atau bukan bujang. Jika p : junus masih bujang, dan ~p : junus bukan bujang, maka pernyataan diatas berbentuk p ∨ ~p. (coba periksa nilai kebenarannya dengan menggunakan tabel kebenaran). Setiap pernyataan yang bernilai benar, untuk setiap nilai kebenaran komponen-komponennya, disebut tautologi. 

B.  Ekivalen

Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.

C.  Kontradiksi

Setiap pernyataan yang selalu bernilai salah, untuk setiap nilai kebenaran dari komponen-komponen disebut kontradiksi. Karena kontradiksi selalu bernilai salah, maka kontradiksi merupakan ingkaran dari tautologi dan sebaliknya.

5.      KUANTOR

A.  Fungsi Pernyataan

Suatu fungsi pernyataan adalah suatu kalimat terbuka di dalam semesta pembicaraan (semesta  pembicaraan diberikan secara eksplisit atau implisit).

Fungsi pernyataan merupakan suatu kalimat terbuka yang ditulis sebagai p(x) yang bersifat bahwa p(a) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk setiap a (a adalah anggota dari semesta pembicaraan). Ingat bahwa p(a) suatu pernyataan.     

B.  Kuantor Umum (Kuantor Universal)

Simbol " yang dibaca “untuk semua” atau “untuk setiap” disebut kuantor umum. Jika p(x) adalah fungsi proposisi pada suatu himpunan A (himpunan A adalah semesta pembicaraannya) maka ("x Î A) p(x) atau "x, p(x) atau "x p(x) adalah suatu pernyataan yang dapat dibaca sebagai “Untuk setiap x elemen A, p(x) merupakan pernyataan “Untuk semua x, berlaku p(x)”.

C.  Kuantor Khusus (Kuantor Eksistensial)

Simbol  $ dibaca “ada” atau “untuk beberapa” atau “untuk paling sedikit satu” disebut kuantor khusus. Jika p(x) adalah fungsi pernyataan pada himpunana tertentu A (himpunana A adalah semesta pembicaraan) maka ($x Î A) p(x) atau $x! p(x) atau $x p(x) adalah suatu pernyataan yang dibaca “Ada x elemen A, sedemikian hingga p(x) merupakan pernyataan” atau “Untuk beberapa x, p(x)”. ada yang menggunakan simbol $! Untuk menyatakan “Ada hanya satu”.   

D.  Negasi Suatu Pernyatan yang Mengandung Kuantor

Jika p(x) adalah manusia tidak kekal atau x tidak kekal, maka “Semua manusia adalah tidak kekal” atau "x p(x) bernilai benar, dan “Beberapa manusia kekal” atau $x ~ p(x) bernilai salah. Pernyataan di atas dapat dituliskan dengan simbol :           ~ ["x p(x)] º $x ~ p(x)

E.  Fungsi Pernyataan yang Mengandung Lebih dari Satu Variabel

Didefinisikan himpunan A1, A2, A3, . . ., An, suatu fungsi pernyataan yang mengandung variabel pada himpunan A1 x A2 x A3 x . . . x An  merupakan kalimat terbuka p(x1, x2, x3, . . ., xn) yang mempunyai sifat p(a1, a2, a3, . . ., an) bernilai benar atau salah (tidak keduanya) untuk (a1, a2, a3, . . ., an) anggota semesta A1 x A2 x A3 x . . . x An.

6. VALIDITAS PEMBUKTIAN

A.  Premis dan Argumen

Pernyataan-pernyataan yang digunakan untuk menarik suatu kesimpulan disebut premis, sehingga suatu premis dapat berupa aksioma, hipotesa, definisi atau pernyataan yang sudah dibuktikan sebelumnya.

Sedang yang dimaksud dengan argumen adalah kumpulan kalimat yang terdiri atas satu atau lebih premis yang mengandung bukti-bukti (evidence) dan suatu (satu) konklusi. Konklusi ini selayaknya (supposed to) diturunkan dari premis-premis.

B.  Validitas Pembuktian (I)

1. Modus Ponen

                        Premis 1          : p Þ q

                        Premis 2          : p

                        Konklusi          : q

2. Modus Tolen :

                        Premis 1          : p Þ q

                        Premis 2          : ~ q

                        Konklusi          : ~ p                

3. Silogisma :

                        Premis 1          : p Þ q

                        Premis 2          : q Þ r

                        Konklusi          : p Þ r

4. Silogisma Disjungtif

                        Premis 1          : p Ú q

                        Premis 2          : ~ q

                        Konklusi          : p

5. Konjungsi

                        Premis 1          : p

                        Premis 2          : q

                        Konklusi          : p Ù q

                        Artinya : p benar, q benar. Maka p Ù q benar.

6. Tambahan (Addition)

                        Premis 1          : p

                        Konklusi          : p Ú q

                        Artinya : p benar, maka p Ú q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q).

7. Dilema Konstruktif :

                        Premis 1          : (p Þ q) Ù (r Þ s)

                        Premis 2          : ~ q Ú ~ s

                        Konklusi          : ~ p Ú ~ r

C. Pembuktian Tidak Langsung

Pembuktian-pembuktian yang telah kita bicarakan di atas, merupakan pembuktian yang langsung. Berdasarkan pemikiran ini, jika premis-premis dalam suatu argumen yang valid membawa ke konklusi yang bernilai salah, maka paling sedikit ada satu premis yang bernilai salah.

Cara pembuktian ini disebut pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kontradiksi atau reductio ad absurdum. Ringkasannya, kita dapat membuktikan bahwa suatu pernyataan bernilai benar, dengan menunjukkan bahwa negasi dari pernyataan itu salah. Ini dilakukan dengan menurunkan konklusi yang salah dari argumen yang terdiri dari negasi pernyataan itu dan pernyataan atau pernyataan-pernyataan lain yang telah diterima kebenarannya.

1.       Logaritma, persamaan eksponen, persamaan logaritma, fungsi eksponen, fungsi  logaritma dan fungsi rasional.

A.      Sifat-sifat eksponen

1.        x  =

2.         =

3.       ( =

4.        =

5.         =

6.        = 1

7.        =

8.        =

B.      Sifat-sifat logaritma

1.        +  =

2.         = 

3.        = p

4.        =

5.        =

C.      Bentuk persamaan eksponen

1.       Jika  = 1, maka f(x) = 0

2.       Jika  = , maka f(x) = p

3.       Jika  =  maka f(x) = g(x)

4.       Persamaan eksponen yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

D.      Pertidaksamaan eksponen

1.        Untuk  0 < a < 1

a.       Jika  ≥   maka  ≤

b.      Jika  ≤   maka  ≥

2.       Untuk a > 1

a.       Jika  ≥   maka  ≤

b.      Jika  ≤   maka  ≥

E.       Bentuk persamaan logaritma

1.       Jika  =  maka f(x) = b

2.       Jika  = , maka  = , dengan syarat >0 dan >0

3.       Persamaan logaritma yang dapat dikembalikan ke persamaan kuadrat.

F.       Pertidaksamaan logaritma

1.       Untuk 0 < a < 1

a.        Jika  ≥  maka  ≤

b.       Jika  ≤  maka  ≥

2.       Untuk a > 1

a.       Jika  ≥  maka  ≥

b.      Jika  ≤  maka  ≤

Dengan syarat >0 dan >0

A.   Bentuk Aljabar

1.    Pengertian Variabel, Suku, Faktor, Koefisien, Konstanta, dan Suku Sejenis

Perhatikan bentuk x + 3 dengan x merupakan pengganti pada bilangan bulat! Jika x diganti - 2 , diperoleh x + 3 = -2 + 3. Jika x di ganti 0, diperoleh x + 3 = 0 + 3. Jika x di ganti 100, diperoleh x + 3 = 100 + 3. Simbol atau notasi x pada contoh di atas disebut variabel.

Bentuk-bentuk seperti 2p², x²-x+4, 2ax-1 dan (x+2)(x-5) disebut bentuk-bentuk aljabar. Bentuk-bentuk aljabar, seperti 2p² artinya 2 x p x p. 2p² adalah bentuk aljabar suku tunggal. Faktor-faktor dari 2p² adalah 2, p, p², dan 2p. Faktor yang berupa konstanta disebut koefisien.

Bentuk x² – x - 4 disebut bentuk aljabar suku tiga dengan x², -x, dan -4 sebagai suku-sukunya.Koefisien dari x² adalah 1 dan koefisien dari x adalah -1.

Pada bentuk aljabar 2ax - 1 dan x² – x + 4, suku-suku 2ax dan –x adalah suku-suku dengan variabel yang sama, yaitu x.Suku-suku seperti ini disebut suku-suku yang sejenis, sedangkan 2ax dan x² adalah suku-suku dengan variabel yang berbeda dan suku-suku seperti ini disebut suku-suku tidak sejenis. 

2.    Operasi Hitung pada Bentuk Aljabar

a.      Menjumlahkan dan Mengurangkan Bentuk Aljabar

Untuk memahami operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk – bentuk aljabar, perhatikan situasi berikut.

Dalam tas Ihsan terdapat 10 buku dan 7 pensil. Selanjutnya, ke dalam tas itu dimasukkan 2 buku dan dari tas itu diambil 3 pensil. Dalam tas Ihsan tentu sekarang ada ( 10 + 2 ) buku dan ( 7 – 3) pensil atau 12 buku dan 4 pensil.

Jika dalam tas Ihsan banyak buku dinyatakan dalam x dan banyak pensil dinyatakan dengan huruf y maka situasi tas ihsan semula adalah 10x + 7y kemudian terjadi 2x – 3y sehingga situasi tas Ihsan menjadi ( 10x + 7y) + ( 2x – 3y) atau (10 + 2) x + (7 - 3) y atau 12x + 4y.

Dari situasi di atas dapat dimengerti bahwa penjumlahan dan pengurangan dua bentuk aljabar hanya dapat dikerjakan pada suku-suku yang sejenis dengan penjumlahan atau pengurangan koefisien pada suku-suku sejenis.

Contoh :

Dua bentuk aljabar dapat dijumlahkan atau dikurangkan bila kedua bentuk aljabar itu sejenis. Perhatikan contoh berikut!

3x² + 6x – 2x² – 10x = 3x² – 2x² + 6x – 10x = x² – 4x

Contoh Soal dan Pembahasan:

1. Jumlah dari 8x² – 5x – 11 dan 20 + 5x – 9x² adalah ....

A. –x² + 9

B. –x² – 9

C. x² + 9

D. x² – 9

Pembahasan:

8x² – 5x – 11 + 20 + 5x – 9x² = 8x² – 9x² – 5x + 5x – 11 + 20

= –x² + 9

Jawaban: A

2. Hasil pengurangan 3p² – 7 oleh p² – 3p – 2 adalah ....

A. –2p² + 3p – 5

B. –2p² – 3p + 5

C. 2p² + 3p – 5

D. 2p² – 3p + 5

Pembahasan:

3p² – 7 – (p² – 3p – 2) = 3p² – 7 – p² + 3p + 2

= 3p² – p² + 3p – 7 + 2

= 2p² + 3p – 5

Jawaban: C

3. Hasil pengurangan 2p – p² dari p² – p + 3 adalah ....

A. 2p² + 3

B. 2p² – 3p + 3

C. 2p² + p + 3

D. 3p² + 3

Pembahasan:

p² – p + 3 – (2p – p²) = p² – p + 3 – 2p + p²

= p² + p² – p – 2p + 3

= 2p² – 3p + 3

Jawaban: B

b.      Perkalian Suatu Konstanta dengan Bentuk Aljabar

Sebuah perusahaan akan memberi paket lebaran pada setiap karyawan yang terdiri atas 1 kaleng biskuit, 2 botol sirup, dan 10 bungkus mie instan. Jika perusahaan itu mempunyai 100 karyawan maka perusahaan itu harus menyediakan 100 paket lebaran atau ( 100 x 1 ) kaleng biskuit, ( 100 x 2 ) botol sirup, dan ( 100 x 10 ) bungkus mie instan. Jika x menyatakan banyak kaleng biskuit, y menyatakan banyak botol sirup, dan z menyatakan banyak mie instan. Maka dapat di tulis.

    100 x x + 100 x 2y + 100 x 10z atau

    100 x ( x + 2y + 10z ). Sifat apa yang berlaku terkait situasi ini ?

Pada himpunan bilangan bulat berlaku sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu a x ( b + c ) = ( a x b ) + (a x c ) dan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan, yaitu : a x ( b - c ) = ( a x b ) – ( a x c ). Sifat ini akan dipakai untuk menyelesaikan perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar suku dua.

Contoh :

1.      Tuliskan perkalian - perkalian berikut sebagai jumlah atau selisih dengan menggunakan sifat distributif.

a.         4( 3x + 5y )

b.         5( 2p²q - 3pq² )

Jawab :

a.       4( 3x + 5y ) = 12x + 20y

b.      5( 2p²q - 3pq² ) = 10p²q - 15pq²

2.      Nyatakan bentuk berikut ke dalam bentuk perkalian suatu konstanta dengan suku dua  yang paling sederhana.

a.       4x - 12y

b.      24m + 40n

Jawab :

a.        4x - 12y = 4( x - 3y )

b.      24m + 40n = 8( 3m + 5n )

c.       Perkalian dan Pembagian Dua Bentuk Aljabar

Untuk melakukan operasi perkalian dan pembagian dua bentuk aljabar, kita dapat memanfaatkan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan sebagaimana perkalian suatu konstanta dengan bentuk aljabar. Coba kalian sebutkan sifat-sifat tersebut. Selain itu, kalian pasti masih ingat bahwa a : b = c sama artinya a = b x c.

Contoh :

1.      Tulislah perkalian berikut dalam bentuk  jumlah atau selisih.

a.       4y( 2x + 3y )

b.       x( x² – x + 1 )

Jawab :

a.       4y ( 2x + 3y ) = ( 4y . 2x ) + ( 4y . 3y )

                            = 8xy + 12y²

b.      x( x² – x + 1 ) = ( x . x² ) - ( x . x ) + ( x . 1 )

                       = x³ - x² + x

Contoh : Perkalian

No	Bentuk	Contoh
1.	Suku 1 dan Suku 2 a( b + c ) = ab + ac	–3x( 2x + 6 ) = –3x.2x – 3x.6 = –6x2 – 18x
2.	Suku 2 dan Suku 2 ( a + b )( c + d ) = ac + ad + bc + bd	( x + 2 )( 2x – 5 ) = x.2x – x.5 + 2.2x – 2.5 = 2x2 – 5x + 4x – 10 = 2x2 – x – 10
3.	Perkalian Istimewa ( a + b )( a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ( a + b )( a – b) = a2 – b2 ( a – b )( a – b) = (a – b)2 = a2 – 2ab + b2	(2x + 3)2 = (2x)2 + 2.2x.3 + 32 = 4x2 + 12x + 9 (3x – 5)2 = (3x)2 – 2.3x.5 + 52 = 9x2 – 30x + 25 (2x + 3)(2x – 3) = (2x)2 – 9 = 4x2 – 9

d.      Pangkat dan Bentuk Aljabar

Pada Bab I telah dibahas bahwaaⁿ = a x a x a x ..... x a , n bilangan bulat positif.

Hal itu juga berlaku untuk bentuk aljabar seperti contoh di bawah ini.

Contoh :

1.      Carilah hasil perpangkatan berikut ini.

a.       ( 3x )²

b.      ( 2xy²z³ )³

Jawab :

a.       ( 3x )²  = 3x . 3x  = 9x²

b.      ( 2xy²z³ )³  = 2xy²z³ . 2xy²z³ . 2xy²z³ = 8x³y⁶z⁹

B.   Operasi Perkalian Bentuk Aljabar

            1.      Menyubstitusikan Bilangan pada variabel Bentuk Aljabar

Suatu bentuk aljabar dapat ditentukan nilainya jika variabel - variabel pada bentuk aljabar tersebut disubstitusikan atau diganti dengan sembarang bilangan.

Contoh :

1.      Jika a = -2, b = 4 dan c = -1, tentukan nilai dari -3a² + 2ab - 4c!

Jawab :

Untuk a = -2, b = 4 dan c = -1 maka,

-3a² + 2ab - 4c = -3(-2)² + 2(-2)(4) - 4(-1) = -12 – 16 + 4 = -24

2.                          Perkalian Bentuk p (a + b + c) dan p (a + b - c)

Masih ingat bahwa p( x + y ) = px + py, p( x – y ) = px - py, dan p( a + x ) = pa + px .Jika nilai x pada persamaan p( a + x ) = pa + px diganti dengan ( b + c ) atau ( b – c ), maka:

·         Jika x diganti dengan ( b + c ) maka,

p( a + b +c ) = pa + p( b + c )

= pa + pb + pc

p( a + b + c ) = pa + pb + pc

·         Jika x diganti dengan ( b – c ) maka,

p( a + b – c ) = pa + p( b – c )

 = pa + pb - pc

p( a + b – c ) = pa + pb - pc

Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut menjabarkan atau menguraikan.

Contoh :

Jika a = 2, b = -1, dan c = 1, tentukan nilai bentuk aljabar berikut.

a.    3a + 3b - 3c

b.    2a + 4b - 8c

Jawab :

a.    3a + 3b - 3c = 3( a + b – c )

 = 3( 2 + (-1) -1 )

 = 3( 0 )

 = 0

b.    2a + 4b - 8c = 2( a + 2b - 4c )

 = 2( 2 + 2(-1) -4.1 )

 = 2( -4 )

 = -8

3.    Perkalian Bentuk (a - b)(p + q)

Telah diketahui bahwa x( p + q ) = xp + xq.Jika pada persamaan itu nilai x diganti dengan ( a – b ) maka diperoleh

( a – b )( p + q ) = ( a – b ) p + ( a – b ) q

= ap – bp + aq – bq

( a – b )( p + q ) = ap – bp + aq – bq

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a.       ( 2x – 1 )( 3y + 2 )                   b. ( 5y – 3 )( 3z + 7 )

Jawab :

a.       ( 2x – 1 )( 3y + 2 ) = ( 2x – 1 ) 3y + ( 2x – 1 ) 2

= ( 2x.3y – 1.3y ) + ( 2x.2 – 1.2 )

= 6xy – 3y + 4x – 2

b.      ( 5y – 3 )( 3z + 7 ) = ( 5y – 3 )3z + ( 5y – 3 )7

= ( 5y.3z – 3.3z) + ( 5y.7 – 3.7)

= 15yz – 9z + 35y – 21

4.    Perkalian Bentuk (a + b)(a – b)

Pada operasi perkalian berlaku persamaan ( a + b )x = ax + bx. Jika niali x pada persamaan tersebut diganti dengan ( a – b) maka diperoleh

            ( a + b )( a – b )           = a( a – b ) + b( a – b )

                                    = a² – ab + ba – b² 

                                    = a² – ab + ab – b²

                                    = a² – b²

( a + b )( a – b )         = a² – b²

            Contoh :

            Tentukan nilai berikut.

a.       ( p + 5 )( p – 5 )

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 )

Jawab :

a.       ( p + 5 )( p – 5 ) = p² – 5² = p² – 25

b.      ( 3x + 7 )( 3x – 7 ) = ( 3x )² – 7² = 9x² – 49

             5.    Bentuk (a + b)²

Perhatikan  bahwa bentuk ( a + b )² merupakan perkalian ( a + b ) dengan ( a + b ) sehingga,

            ( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )

   = a² + ba + ab + b²

           =a² + ab + ab + b² ( ba = ab adalah sifat komutatif terhadap perkalian )

  = a² + 2ab + b²

            ( a + b )² = a² + 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.         ( 3p + 2 )²

b.         ( 4 + 3q )²

Jawab :

a.       ( 3p + 2 )² = ( 3p + 2 ) ( 3p + 2 )

= 9p² + 6p + 6p + 4

= 9p² + 12p + 4

b.      ( 4 + 3q )² = ( 4 + 3q ) ( 4 + 3q )

= 16 + 12q + 12q + 9q²

= 16 + 24q + 9q²

6.    Bentuk ( a – b )²

Perhatikan bahwa bentuk ( a – b )² merupakan perkalian ( a – b ) dengan ( a – b ) sehingga,

( a – b )² = ( a – b ) ( a – b )

= a² – ba – ab + b²

= a² – ab – ab + b²

= a² – 2ab + b²

( a – b )² = a² – 2ab + b²

Contoh :

Uraikan bentuk-bentuk berikut.

a.       ( x – 3 )²                      b. ( 2y – 5 )²

Jawab :

a.       ( x – 3 )²  = ( x – 3 ) ( x – 3 )

= x² – 3x – 3x + 9

=  x² – 6x + 9

b.      ( 2y – 5 )²  = ( 2y – 5 ) ( 2y – 5 )

= 4y² – 10y – 10y + 25

= 4y² – 20y + 25

C.   Penggunaan Aljabar dalam Kehidupan Sehari-hari

1.  Menghitung Nilai Keseluruhan, Nilai Per Unit, dan Nilai Bagian

Seorang pemilik toko menjual satu kotak pensil dengan harga Rp 12.000,00.Ternyata, dalam satu kotak berisi 12 pensil. Jika ada seseorang membeli satu batang pensil maka harga yang diberikan oleh pemilik toko adalah Rp 1.000,00. Dalam hal ini, harga satu kotak pensil adalah Rp 12.000,00 disebut nilai keseluruhan, sedangkan harga satu batang pensil = Rp 1.000,00 disebut nilai per unit.

Contoh :

Jika harga satu kodi ( 20 lembar ) kain adalah Rp 500.000,00, tentukan harga per lembar kain tersebut!

Jawab :

Misalkan harga satu lembar kain = x maka harga satu kodi kain adalah 20x = Rp 500.000,00 sehingga, x = 500.000 : 20 = 25.000

Jadi, harga per lembar kain adalah Rp 25.000,00

2.    Harga Pembelian, Harga Penjualan, Untung ( Laba ), Rugi dan Modal

Seorang pedagang membeli sebuah sepeda motor dengan harga Rp 8.000.000,00. Dua bulan kemudian, sepeda motor itu dijual. Jika pedagang tersebut berhasil menjual sepeda motor dengan harga Rp 8.500.000,00 maka ia dikatakan mendapat laba Rp 500.000,00. Jika pedagang tersebut hanya mampu menjual dengan harga Rp 8.000.000,00 maka ia dikatakan tidak untung dan tidak rugi ( impas ). Namun, jika pedagang tersebut menjual sepeda motor dengan harga Rp 7.750.000,00 maka ia dikatakan mengalami rugi sebesar Rp 250.000,00.

Dari uraian diatas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

a)    Untung jika harga penjualan lebih dari harga pembelian.

Untung = Harga Penjualan – Harga Pembelian

b)   Tidak untung dan tidak rugi ( impas ) jika harga penjualan sama dengan harga pembelian.

Impas = Harga Penjualan = Harga Pembelian

c)   Rugi jika harga penjualan kurang dari harga pembelian.

Rugi = Harga Pembelian – Harga Penjualan

Selanjutnya, apakah  yang disebut modal? Modal adalah uang yang dipakai sebagai pokok untuk berdagang.

3.    Pengertian Persen, Mengubah Bentuk yang Satu ke Bentuk yang Lain di antara Pecahan, Pecahan Desimal dan Persen

Persen adalah pecahan yang ditulis dalam bentuk p% dengan p bilangan real.Persen artinya per seratus. Suatu pecahan biasa atau desimal dapat dinyatakan kedalam bentuk persen dengan cara pecahan tersebut dikalikan 100%. Sebaliknya, bentuk persen juga dapat dinyatakan ke bentuk pecahan biasa atau desimal.

4.    Menentukan Persentase Untung atau Rugi terhadap Harga Pembelian

Dalam perdagangan, besar untung atau rugi terhadap harga pembelian biasanya dinyatakan dalam bentuk persen.

5.    Menghitung Harga Penjualan atau Harga Pembelian Jika Persentase Untung atau Rugi Diketahui

Pada umumnya, seorang pedagang berharap mendapatkan untung dan menghindari rugi. Jika persentase untung atau rugi diketahui maka harga beli dan harga jual dapat dihitung.

Untung = Harga Penjualan – Harga Beli maka,

a.     Harga Penjualan = Harga Pembelian + Untung

b.    Harga Pembelian = Harga Penjualan – Untung

Dengan cara yang sama jika,

Rugi = Harga Pembelian – Harga Penjualan maka,

a.     Harga Penjualan = Harga Pembelian – Rugi

b.    Harga Pembelian = Harga Penjualan + Rugi

6.    Rabat (Diskon), Bruto, Tara, dan Neto

a.         Pengertian Rabat (Diskon)

Istilah rabat dan diskon mempunyai pengertian yang sama yaitu potongan harga pada saat transaksi jual beli. Namun, terdapat perbedaan dalam pemakaian kedua istilah tersebut. Istilah rabat digunakan oleh produsen kepada grosir, agen, atau pengecer sedangkan istilah diskon digunakan oleh grosir, agen, atau pengecer kepada pembeli atau konsumen.

b.        Pengertian Bruto, Neto, dan Tara

Pada suatu kaleng makanan tertulis neto 1 kg. Tetapi pada saat ditimbang beratnya 1,2 kg. Tulisan 1 kg tersebut menunjukkan neto ( berat bersih ) makanan dalam kaleng . Hasil penimbangan 1,2 kg disebut bruto ( berat kotor ). Sedangkan bruto – neto = 0,2 kg disebut tara.

Dari uraian diatas dapat disimpulkan sebagai berikut.

                        Bruto = neto + tara

Neto = bruto – tara

Tara = bruto – neto

            Jika, diketahui persen tara dan bruto maka untuk mencari tara digunakan rumus berikut.

Tara=Persen Tara x Bruto

7.    Pajak

Jika melihat barang-barang di sebuah toko, sering  kita temui tulisan harga belum termasuk PPN( Pajak Pertambahan Nilai ). Artinya, Jika harga suatu barang Rp 100.000,00 maka uang yang harus dibayarkan oleh pembeli adalah Rp 100.000,00 ditambah PPN x Rp 100.000,00. Dari contoh tersebut kita dapat memahami istilah pajak.

Pajak adalah sejumlah uang yang dibayarkan seseorang ( rakyat ) kepada negara atau pemerintah untuk digunakan bagi kepentingan rakyat. Ada berbagai jenis pajak, misalnya pajak penghasilan, pajak pertambahan nilai, dan pajak bumi dan bangunan.

8.    Bunga Tunggal dalam Kegiatan Ekonomi

Jika menyimpan uang di bank atau koperasi maka tiap bulan kita akan mendapatkan tambahan uang yang disebut bunga. Bunga tabungan dihitung secara periodik, misalnya sebulan sekali atau setahun sekali. Ada dua jenis bunga tabungan, yaitu bunga tunggal dan bunga majemuk. Bunga tunggal adalah bunga yang dihitung hanya berdasarkan besarnya modal saja, sedangkan bunga majemuk adalah bunga yang dihitung berdasarkan besarnya modal dan bunga.

RELASI dan FUNGSI

1.       RELASI

·         Terdapat dua himpunan X dan Y, Cartesian product XxY adalah himpunan dari semua pasangan terurut (x,y) dimana x X dan y

−        XxY = {(x,y) │ x X dan y }

·         Contoh :

−        X = {A,B}

−        Y = {1,2,3}

−        Cross Product

XxY = {(A,1),(A,2),(A,3),(B,1),(B,2),(B,3)}

·         Karena merupakan relasi antara du himpunan, maka disebut relasi biner.

Misalkan A dan B Himpinan. Suatu relasi biner dari A ke B adalah subhimpunan dari  AxB.

Ø  Untuk relasi biner  R berlaku R ⊆ A×B.

Ø  Digunakan notasi aRb untuk menyatakan (a,b)∈Rdan aRb untuk menyatakan (a,b)∉R.

Ø  Jika (a, b) merupakan anggota R, a dikatakan berelasi dengan b oleh R.

– Contoh: X = {1, 2, 3} and Y = {a, b}

– R = {(1,a), (1,b), (2,b), (3,a)} adalah relasi antara X dan Y.

                RELASI pada HIMPUNAN

                Suatu relasi pada himpunan A adalah relasi dari A ke A. Relasi pada himpunan A adalah subhimpunan dari A×A.

                Contoh : Misalkan A = {1, 2, 3, 4}.

Maka Himpunan terurut yang terdapat dalam relasi adalah , (1, 2),(1, 3),(1, 4),(2, 3),(2, 4),(3, 4)}.

                Sifat Relasi (refleksif)

                Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a)∈R untuk setiap anggota a∈A. Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika ada a∈R sedemikian sehingga (a,a) ∉ R.

                Contoh : sifaf relasi (refleksif) pada {1,2,3,4} adalah R = {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 3), (4, 4)}.

                Sifat Relasi (simetris)

                Relasi R pada himpunan A disebut simetris / (symmetric), jika (a,b)∈ R maka (b,a)∈ R untuk a,b ∈ A. Relasi R adalah antisymmetric pada himpunan A sedemikian hingga (a,b) ∈ R maka (b,a) ∈ R hanya jika a = b untuk a,b ∈ A atau jika untuk semua a,b ∈ A sedemikian sehingga a≠b, jika (a,b) ∈R maka (b,a) ∉R.

Simetris dan Antisimetris

                Definisi tersebut menyatakan bahwa relasi R pada himpunan A bukan antisimetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b) ∈R maka (b,a) ∈ R. Istilah simetris dan antisimetris tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa pasangan terurut berbentuk (a,b) yang mana a≠b.

                Sifat Relasi (transitif)

                Relasi R pada himpunan A disebut transitif jika setiap kali (a,b)∈R dan (b,c)∈R, maka (a,c)∈R untuk a,b,c∈A.

                Contoh : sifat relasi transitif pada {1,2,3,4} adalah R =  {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}.

2.       FUNGSI

•         Fungsi merupakan jenis khusus pada relasi Definisi Fungsi :

Misalkan terdapat himpunan A dan B. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan fungsi dari A ke B kita menuliskan f : A→ B yang artinya f memetakan A ke B

·         Nama lain fungsi adalah pemetaan atau transformasi ditulis f(a) = b

·         Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f

·         Himpunan B disebut daerah kawan (codomain) dari f

·         Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut daerah hasil (range)

Fungsi one to one (injektif)

Fungsi f dikatakan injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama. Dengan kata lain jika a dan b adalah anggota himpunan A maka f(a)≠f(b) maka implikasinya adalah a≠b.

Misalkan f : Z→Z. Tentukan apakah f(x)=  dan f(x) = x – 1 merupakan fungsi injektif?

-          f(x)=  bukan fungsi injektif karena f(2) = f(-2) = 5

-          f(x)= x – 1 adalah fungsi injektif

fungsi f(x) =  dari himpunan bilangan real adalah fungsi injektif

fungsi f(x) =  bukan fungsi injektif karena untuk setiap bilangan real x f(x) = f(-x).

 

Fungsi onto (surjektif)

Fungsi f dikatakan onto atau surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Dengan kata lain seluruh elemen B merupakan range dari f. Fungsi f disebut fungsi pada himpunan B.

 

 

 

                                                                   

                      Fungsi bijektif

                      Fungsi f : XY bijektif apabila f adalah injektif dan surjektif

                      Contoh : fungsi f(x) = ax  b dan fungsi f(x) =

 

                 

 

                                                                   

                       Fungsi invers

                       Terdapat sebuah fungsi y = f(x), fungsi invers  adalah {(y,x) | y =f(x)}. Fungsi one to one sering dinamakan juga fungsi invertible (dapat dibalikkan).

 Contoh tentukan invers dari f(x) = x – 1. Fungsi f(x) = x – 1 adalah fungsi injektif, jadi mempunyai invers.

−        f(x) = x – 1

−        y = x –1

−        x = y + 1 , Maka fungsi invers  (x) = x + 1

         Komposisi Fungsi

                       Terdapat dua fungsi g : X → Y dan f : Y → Z, komposisi f ◦ g didefinisikan sebagai berikut :

·         f ◦ g (x) = f(g(x)) untuk setiap x ∈ X. Contoh

−        g(x) = -1

−        f(x) = 3x + 5

−        g ◦ f(x) = g(f(x)) = g(3x + 5) =  -1

·         Komposisi fungsi memenuhi hokum assosiatif : f ◦ (g ◦h) = (f ◦ g) ◦ h tetapi tidak memenuhi hukum komutatif : f ◦ g ≠ g ◦ f.

A.    Pengertian Persamaan Kuadrat
            Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah     dengan  .
            Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Perhatikan beberapa fungsi kuadrat berikut ini:

a.  f(x) = 3x² + 2x + 5

b.  f(x) = 2x² + 3x

c.  f(x) = x² – 4

            Jika semua fungsi kuadrat di atas bernilai nol, atau f(x) = 0, maka fungsi kuadrat tersebut menjadi

1.      3x² + 2x + 5 = 0

2.      2x² + 3x = 0

3.      x² – 4 = 0

 Fungsi kuadrat yang demikian disebut persamaan kuadrat. Contoh :

1.  Persamaan kuadrat lengkap

            2x² – 3x + 4 = 0 dan x² – x – 1 =0

2.  Persamaan kuadrat tidak lengkap

            3x² + x = 0, x² – x = 0, dan –x² – 25 = 0

.

B.     Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Memfaktorkan

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0, setelah difaktorkan, misalnya diperoleh

(x – x₁) (x – x₂) = 0

↔ x = x₁ atau x = x₂

Dalam hal ini x₁ atau x₂ merupakan penyelesaian dari persamaan kuadrat di atas.
 Hal tersebut menggambarkan suatu ketentuan bahwa (x – x₁) (x – x₂) = 0 dipenuhi oleh x = x₁ atau x = x₂

Contoh :

Tentukan penyelesaian sistem persamaan kuadrat 2x² + 6x = 0 dengan memfaktorkan !

Penyelesaian :

2x² + 6x = 0

          ↔ 2x (x + 3) = 0

↔ 2x = 0 atau x + 3 = 0

↔ x = 0 atau x = -3

Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah x₁ = 0 atau x₂ = -3

C.    Bentuk Kuadrat Sempurna

            Contoh kuadrat sempurna dua pusat x antara lain x², 4x², 9x², 16x², 25x², (9x + 3)² dan (x – 4)².

            Selanjutnya kita pelajari cara menyelesaikan persamaan kuadrat yang dinyatakan dalam bentuk (x + p)² = q dengan q ≥ 0, yaitu persamaan kuadrat yang ruas kirinya merupakan kuadrat sempurna. Contoh :
                                   

x² – 9 = 0

↔ x² = 9

↔ x   = ± √9

↔ x   = ± 3

↔ x   = 3 atau x = -3

Jadi penyelesaian persamaan tersebut adalah x₁ = 3 atau x₂ = -3

E.     Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dengan Menggunakan Rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat

ax² + bx + c = 0 dengan a ≠ 0, a, b, c є R dan x є R

, dengan b² – 4ac ≥ 0

Rumus ini disebut rumus abc.

Catatan:

Sebelum memakai rumus abc, persamaan kuadrat harus dinyatakan dalam bentuk baku yaitu:

ax² + bx + c = 0, jika b² – 4ac < 0, maka tidak ada penyelesaian untuk ax² + bx + c = 0.

Contoh:

Dengan menggunakan rumus abc tentukan penyelesaian dari x² – x – 6 = 0, dengan x peubah pada bilangan real !

Penyelesaian:

x² – x – 6

a = 1, b = 1, c = -6

atau

Jadi x₁ = -3 atau x₂ = 2

Catatan :

1.  Jika nilai b² – 4ac > 0 maka x memiliki dua nilai real yang berlainan

2.  Jika nilai b² – 4ac = 0 maka x memiliki satu nilai real

3.  Jika nilai b² – 4ac < 0 maka x tidak memiliki nilai real.

PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT

A. persamaan kuadrat

 Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

Y = ax² + bx + c a ≠ 0

1. Penentuan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Anda tentu telah mempelajari tentang persamaan kuadrat pada waktu di SMP Terbuka/Reguler. Oleh karena itu, sebelum membahas cara-cara untuk menentukan akar-akar dari suatu persamaan kuadrat, sebaiknya anda ingat kembali bentuk umum persamaan kuadrat yaitu ax + bx + c = 0 dimana a, b, R dan a 0. Persamaan yang berbentuk ax +bx + c = 0 dimana a, b, c, R dan a 0 dinamakan persamaan kuadrat dalam peubah x. Dalam persamaan kuadrat ax + bx + c = 0, a adalah koefisien x, b adalah koefisien x, dan c adalah suku tetapan (konstanta).

Untuk menentukan nilai-nilai a, b, dan c dari suatu persamaan kuadrat, Anda perhatikan beberapa contoh di bawah ini.
1. x + bx + 5 = 0, nilai a = 1, b = b, dan c = 5.
2. x – 4x = 0, nilai a = 1, b = -4, dan c = 0.
3. 3x + 4x + 1 = 0, nilai a = 3, b = 4, dan c = 1.
4. x – 16 = 0, nilai a = 1, b = 0, dan c = -16.

Berkaitan dengan nilai-nilai a, b, dan c, dikenal beberapa persamaan kuadrat, diantaranya adalah:

(i) (ii) (iii) (iv)

Jika a = 1, maka persamaan menjadi x + bx + c = 0 dan persamaan seperti ini disebut persamaan kuadrat biasa. Jika b = 0, maka persaman menjadi x + c = 0 dan persaman seperti ini disebut persamaan kuadrat sempurna. Jika c = 0, maka persamaan menjadi ax + bx = 0 dan persamaan seperti ini disebut peramaan kuadrat tak lengkap. Jika a, b, dan c bilangan-bilangan rasional maka ax + bx + c = 0 disebut persamaan kuadrat rasional.

Setelah Anda memahami beberapa bentuk persamaan kuadrat, selanjutnya marilah kita pelajari cara-cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat. Kita masih ingat bahwa untuk menetukan akar-akar persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara yaitu:
a. Memfaktorkan (pemfaktoran)
b. Menggunakan rumus kuadrat (rumus abc).

a. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat dengan Memfaktorkan
Jika suatu persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 dapat difaktorkan menjadi berbentuk P x Q = 0, maka akar-akar persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan (pemfaktoran).

Contoh persamaan kuadrat yang dapat difaktorkan antara lain:

Ø x + 3x + 2= 0
(x+2) (x+1) = 0

b. menggunakan rumus ABC

Rumus kuadrat dikenal pula dengan nama 'rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat.

.

Ø menggunakan deskriminan :

deskriminan ( D ) adalah disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dituliskan sebagai D. dengan rumus

D = b² – 4ac

A.   PENGERTIAN FUNGSI EKSPONEN

Dalam pelajaran kelas X, telah dipelajari perpangkatan/eksponen  bilangan bulat. Untuk mempelajari bab ini kita ingat kembali sifat-sifat bilangan berpangkat rasional. Jika a dan b bilangan real, p dan q bilangan rasional maka berlaku hubungan sebagai berikut :

1.                                 7.

2.                                8.

3.                                   9.

4.                               10.

5.                                11.

6.

Di kelas XI ini akan lebih mendalami tentang perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi. Bentuk perpangkatan yang pangkatnya merupakan suatu fungsi disebut fungsi eksponen.

Fungsi eksponen banyak manfaatnya dalam kehidupan. Misalnya dalam peluruhan radioaktif, pertumbuhan tanaman, perhitungan bunga tabungan di Bank dan sebagainya.

B.  Persamaan fungsi eksponen dan penerapannya

1. Bentuk         

    Jika  dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = 0

         Seperti apakah contoh dan cara menyelesaikan persamaan fungsi eksponenberbrntuk = 1? Ya,perlu kalian ketahui bahwa: = 1, dengan > 0 dan a  0, maka = 0. Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh 7.1

Tentukan himpunan penyelesaikan dari :uu

1. 3= 1
2. 

  Jawab:

a.    3^5x-10  = 1

     3^5x-10  = 3⁰

            5x-10 = 0  

            5x      = 10

         X      =  2

       b.

        

        

         (2x+5) (x-1) = 0

          2x+5=0      x-1=0

          X      =-     x= 1

2. Bentuk

    Jika dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = p

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari:

 a.

 b.

 c.

Jawab :

a.

   

    2x-1 = 3

     2X   = 4

       X   = 2

b.

   

     2x-7 = -5

     2x    = 2

       X    = 1

c.

    

    

     

      3x-10 = -5

      3x      = 5

        X      =

Latihan 1 :

1.

2.

3.           

4.

5.

3. Bentuk a^f(x) = a^g(x)

    Jika a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠0 , maka f(x) = g(x)

   

     Contoh :

a.

b. 25^X+2= (0,2)^1-X

c.

Jawab:

c .           3(x-4) = 5(x+2)    3x-12 = 5x+10    -2x = 22     X   = -11    Jadi HP = { -11 }

a.

   

      2(x²+x) = 3(x²-1)

   2x²+2x = 3x²-3

   X² – 2x – 3 = 0

   (x – 3) (x + 1) = 0

   X = 3        x = -1

   Jadi HP= { -1, 3 }

b. 25^X+2= (0,2)^1-X

    5 ^2(X+2) = 5 ^-1(1-X)

    2x + 4 = -1 +x

    2x – x = -1 - 4

           X = -5

    Jadi HP = { -5 }

4.  Bentuk

Jika  dengan a>0 dan a≠1, b>0 dan b≠1, dan a≠b maka f(x) =0

Contoh :

a.

b.

Jawab:

	b.      x2-5x+6 = 0     (x-6)(x+1) = 0     X = 6       x = -1     Jadi HP =  { -1,6 }

 

a.

      x-3 = 0

      x    = 3

         Jadi HP =  { 3 }

    Latihan 2 :

   1.

   2.

   3.

   4.

   5.

5. Bentuk

    Dengan memisalkan a^f(x) = p, maka bentuk persamaan di atas dapat

    diubah menjadi persamaan kuadrat :  Ap² + Bp + C =0

    Contoh :

a.    2^2x - 2^x+3 +16 = 0

    Jawab :

    2^2x - 2^x+3 +16 = 0

    2^2x – 2 ^x.2³ +16 = 0

    Dengan memisalkan 2^x = p, maka persamaan menjadi

    P² – 8p + 16 = 0

    (p – 4)(p – 4) = 0

     P = 4

    Untuk p = 4  2^x = 4

                           2^x = 2²

                           X  = 2

    Jadi HP = { 2 }

1.  Barisan dan Deret Aritmetika

⊗ Barisan Aritmetika

a.      

b.     

⊗ Deret Aritmetika

a.      

b.     

Keterangan :

U1 = = suku pertama

b = U2-U1 = Beda

Un = = suku ke-n

Sn =  =   = Jumlah n suku pertama

Un =  

2.   Barisan dan Deret Geometri

                ⊗ Barisan Geometri

a.      

b.     

⊗ Deret Geometri

a.      

b.     

Keterangan :

U1 = = suku pertama

r = = rasio

Un =  = suku ke-n

Sn =  , r > 1

Sn  =  , 0 < r < 1

Sn = jumlah n suku pertama

3.   Deret Geometri tak hingga

                Suatu deret geometri mempunyai jumlah sampai tak hingga jika -1 < r < 1, r

                 =

                 = jumlah sampai tak terhingga

                 = suku pertama

                 = rasio